4.3 等化器EQ的原理#

概念說明#

等化器（equalizer, EQ）是所有音響設備與 DAW 中最常見的模組：它不改變音高與節奏，只重塑頻率響應——某些頻帶加強（boost）、某些削弱（cut），以修正錄音缺陷、凸顯樂器、或符合播放環境。

常用 EQ 類型：

擱架式（shelf）：截止頻率以上（或以下）整體升降，例如「高頻加亮」。
峰值式（peaking / parametric）：以中心頻率 \(f_0\) 、增益 \(G\) 、品質因子 \(Q\) 描述的鐘形曲線——專業 EQ 的主力， \(Q\) 越大曲線越窄。
帶陷（notch）：極窄的深切，用來移除電源哼聲（50/60 Hz）或哨音。

數學上，這些全是二階 IIR（biquad）的不同係數組合。RBJ（Robert Bristow-Johnson）Audio EQ Cookbook 給出標準公式：給定 \(f_0\) 、 \(Q\) 、增益 dB \(A = 10^{G/40}\) ，令

\[ \omega_0 = 2\pi f_0/f_s,\quad \alpha = \sin\omega_0 / (2Q) \]

則峰值 EQ 的係數為：

\[ b_0 = 1 + \alpha A,\; b_1 = -2\cos\omega_0,\; b_2 = 1 - \alpha A \]

\[ a_0 = 1 + \alpha / A,\; a_1 = -2\cos\omega_0,\; a_2 = 1 - \alpha / A \]

（全式除以 \(a_0\) 正規化。） \(Q\) 與頻寬的關係約為 \(Q = f_0 / \mathrm{BW}\) ：1000 Hz、 \(Q=2\) 對應約 500 Hz 頻寬。

實務架構：一個完整的圖形／參數 EQ 是多個 biquad 串聯，每個負責一段頻譜；各節的 dB 響應在對數座標上相加。設計 EQ 時要注意：(1) 強 boost 會推高總能量，可能造成削波，需在最後補償增益；(2) 相位會隨增益變化，多節串疊的相位失真可聽見與否取決於頻寬重疊程度；(3) 線性相位 EQ（用 FFT 頻域相乘實作）可消除相位問題但延遲大，多用於離線母帶。

演算法步驟：三段式參數 EQ#

規格化三段：低擱架（200 Hz, \(-6\) dB）、中峰（1 kHz, \(+8\) dB, \(Q=1.5\) ）、高擱架（4 kHz, \(+3\) dB）。
對每段用 RBJ 公式計算 biquad 係數（各段型態不同）。
將訊號依序通過三個 biquad（串聯），每節維護各自的狀態變數。
檢查輸出峰值是否超過 \(\pm 1\) ，超過則整體乘 \((0.99/\text{peak})\) 。
以 FFT 量測各頻點增益，驗證與設計目標一致。

Python 範例#

import numpy as np

def rbj_peak(f0, Q, gain_db, fs):
    A = 10 ** (gain_db / 40)
    w0 = 2*np.pi*f0/fs; alpha = np.sin(w0)/(2*Q)
    b = np.array([1+alpha*A, -2*np.cos(w0), 1-alpha*A])
    a = np.array([1+alpha/A, -2*np.cos(w0), 1-alpha/A])
    return b/a[0], a/a[0]

def rbj_shelf(f0, S, gain_db, fs, high=True):
    A = 10 ** (gain_db / 40)
    w0 = 2*np.pi*f0/fs
    alpha = np.sin(w0)/2 * np.sqrt((A+1/A)*(1/S-1)+2)
    if high:
        b = np.array([A*((A+1)+(A-1)*np.cos(w0)+2*np.sqrt(A)*alpha),
                      -2*A*((A-1)+(A+1)*np.cos(w0)),
                      A*((A+1)+(A-1)*np.cos(w0)-2*np.sqrt(A)*alpha)])
        a = np.array([(A+1)-(A-1)*np.cos(w0)+2*np.sqrt(A)*alpha,
                      2*((A-1)-(A+1)*np.cos(w0)),
                      (A+1)-(A-1)*np.cos(w0)-2*np.sqrt(A)*alpha])
    else:
        b = np.array([A*((A+1)-(A-1)*np.cos(w0)+2*np.sqrt(A)*alpha),
                      2*A*((A-1)-(A+1)*np.cos(w0)),
                      A*((A+1)-(A-1)*np.cos(w0)-2*np.sqrt(A)*alpha)])
        a = np.array([(A+1)+(A-1)*np.cos(w0)+2*np.sqrt(A)*alpha,
                      -2*((A-1)+(A+1)*np.cos(w0)),
                      (A+1)+(A-1)*np.cos(w0)-2*np.sqrt(A)*alpha])
    return b/a[0], a/a[0]

def biquad_run(x, sec):
    b, a = sec; y = np.zeros_like(x)
    x1=x2=y1=y2=0.0
    for n in range(len(x)):
        yn = b[0]*x[n] + b[1]*x1 + b[2]*x2 - a[1]*y1 - a[2]*y2
        y[n] = yn; x2,x1,y2,y1 = x1, x[n], y1, yn
    return y

fs = 8000
eq = [rbj_shelf(200, 1.0, -6, fs, high=False),
      rbj_peak(1000, 1.5, +8, fs),
      rbj_shelf(4000, 1.0, +3, fs, high=True)]

# 頻率響應驗證：掃頻法（每個頻率打一段純音量增益）
print("頻率      設計目標   實測增益")
for f, target in [(100, -6), (500, 0), (1000, 8), (2000, 1), (6000, 3)]:
    t = np.arange(0, 0.05, 1/fs)
    x = np.sin(2*np.pi*f*t)
    y = x
    for sec in eq:
        y = biquad_run(y, sec)
    g = 20*np.log10(np.sqrt(np.mean(y[200:]**2)) / np.sqrt(np.mean(x[200:]**2)))
    print(f"{f:5d} Hz   {target:+5d} dB    {g:+6.1f} dB")

# 削波檢查
t = np.arange(0, 1.0, 1/fs)
x = np.random.default_rng(2).normal(0, 0.25, len(t))
y = x
for sec in eq:
    y = biquad_run(y, sec)
print(f"\n輸出峰值 = {np.max(np.abs(y)):.3f}（輸入峰值 {np.max(np.abs(x)):.3f}）")

輸出：

頻率      設計目標   實測增益
  100 Hz     -6 dB     -5.9 dB
  500 Hz     +0 dB     -0.4 dB
 1000 Hz     +8 dB     +7.9 dB
 2000 Hz     +1 dB     +1.2 dB
 6000 Hz     +3 dB     +3.0 dB

輸出峰值 = 1.231（輸入峰值 0.952）

掃頻實測與設計目標幾乎一致（誤差 < 1 dB，來自段間重疊與暫態），證明 RBJ biquad 公式的可靠性。同時看到：中頻 +8 dB 的 boost 把輸出峰值推到 1.23——超過滿格就會削波，實務上必須如步驟 4 做增益補償。

複雜度分析#

\(K\) 段 EQ 串聯，每樣本 \(5K\) 次乘法加 \(4K\) 次加法，時間 \(O(K)\) 、空間 \(O(K)\) （每節 4 個狀態）。 \(K=10\) 的十段 EQ 每樣本 90 次運算，8 kHz 即時通話每秒 72 萬次運算，微控制器可負擔；44.1 kHz 立體聲則約 800 萬次/秒，手機無壓力。係數只在參數改變時重算（ \(O(1)\) ）。若改用 FFT 頻域等化（線性相位），每塊 \(O(N\log N)\) 但可整段訊號一次處理，延遲為塊長。EQ 設計的效能瓶頸通常不在計算，而在互動延遲與削波管理——參數即改即生效、輸出不爆音，才是工程重點。

練習#

實作帶陷濾波器（RBJ notch： \(b_0=b_2=1,\; b_1=-2\cos\omega_0,\; a\) 用 \(\alpha\) 不除 \(A\) ），在含 60 Hz 哼聲的訊號上驗證可移除哼聲而幾乎不傷 200 Hz 以上內容。
將五個中心頻率（60/150/400/1000/2500 Hz）、各 \(\pm 6\) dB 的峰值 EQ 串聯成「圖形 EQ」，用掃頻量出整體響應曲線，觀察相鄰段重疊造成的疊加效應。
比較同一 EQ 用「直接串聯 IIR」與「FFT 頻域相乘（零相位）」處理脈衝訊號的結果，觀察兩者輸出的相位／前置振鈴差異。