6.1 心理聲學與遮蔽效應#

概念說明#

音訊壓縮的關鍵問題不是「怎麼把資料變小」，而是「哪些資料可以安全地丟掉而聽不出來」。回答這個問題的是心理聲學（psychoacoustics）——研究人耳感知規律的科學。

三個核心事實：

聽覺門檻（absolute threshold of hearing）：安靜環境下，人耳在 2–5 kHz 最敏感（門檻約 0 dB SPL），低於 20 Hz 與高於 16 kHz 的聲音幾乎聽不見。落在門檻以下的頻譜成分可以直接丟棄。
頻率遮蔽（frequency masking）：一個強音（遮蔽者）會抬高其鄰近頻率的門檻，使附近較弱的音（被遮蔽者）聽不見。遮蔽曲線不對稱：向高頻方向延伸更廣（可達遮蔽者頻率的數倍），向低頻方向較窄。遮蔽的量以臨界頻寬（critical band）為尺度——耳蝸約分成 24 個頻帶，Bark 刻度即依此定義，梅爾刻度（5.2 節）是它的近親。
時間遮蔽（temporal masking）：遮蔽效應延伸到時間軸——強音出現前約 20 ms（前向遮蔽）與之後約 100–200 ms（後向遮蔽）內的弱音聽不見。前向遮蔽看似違反直覺（怎麼會被還沒出現的聲音遮住？），原因在聽覺系統的積分與注意機制。

把三者合起來，得到壓縮的判準：對每個頻譜成分計算其遮蔽門檻，量化時只保證量化雜訊低於門檻即可——門檻高的頻帶用少位元、門檻低的用多位元。這就是「感知編碼（perceptual coding）」的本質：位元跟著耳朵走，而不是跟著訊號走。

演算法步驟：計算遮蔽門檻#

對當前框做 FFT（如 2048 點），計算功率譜。
將頻譜能量映射到近似 Bark／臨界頻帶（每帶求和）。
對每個顯著的遮蔽者（如帶內能量前幾名），計算其遮蔽曲線：

\[ M(\Delta f) = \text{level} - S \cdot \Delta\text{Bark} + O \]

其中斜率 \(S\) 向下頻約 27 dB/Bark、向上頻約 −15 dB/Bark， \(O\) 為依遮蔽者性質（音調/噪音）的偏移。 4. 將所有遮蔽曲線與絕對聽覺門檻逐頻點取最大值，得總遮蔽門檻 \(T(f)\) 。 5. 各頻點的訊噪比餘裕 \(=\) 譜能量 \((f) - T(f)\) ，即該點可容忍的量化雜訊量；餘裕大者分配少位元、或直接視為「無需編碼」。

Python 範例#

import numpy as np

fs, N = 44100, 2048
freqs = np.fft.rfftfreq(N, 1/fs)

# 絕對聽覺門檻（近似公式，dB SPL）
def hearing_threshold(f):
    f = np.maximum(f, 1e-1)
    return 3.64*(f/1000)**-0.8 - 6.5*np.exp(-(f/1000-3.3)**2/0.5) \
           + 1e-3*(f/1000)**4

# 模擬場景：1 kHz 強音（-10 dB）+ 1.1 kHz 弱音（-55 dB）+ 6 kHz 弱音（-45 dB）
t = np.arange(N)/fs
x = 10**(-10/20)*np.sin(2*np.pi*1000*t) \
  + 10**(-55/20)*np.sin(2*np.pi*1100*t) \
  + 10**(-45/20)*np.sin(2*np.pi*6000*t)
P = np.abs(np.fft.rfft(x*np.hamming(N)))**2 / N
P_db = 10*np.log10(P + 1e-15)

# 遮蔽曲線：以 1 kHz 遮蔽者為例
masker_f, masker_db = 1000.0, -10
def spread(d_bark):
    return np.where(d_bark >= 0, -15*d_bark - 8, 27*d_bark - 8)

f_bark = 13*np.arctan(0.00076*freqs) + 3.5*np.arctan((freqs/7500)**2)
m_bark = 13*np.arctan(0.00076*masker_f) + 3.5*np.arctan((masker_f/7500)**2)
mask_curve = masker_db + 10*np.log10(P.max()/10**(masker_db/10) + 1e-15)*0 \
             + spread(f_bark - m_bark) + 2
total_mask = np.maximum(mask_curve, hearing_threshold(freqs))

# 檢查三個成分是否被遮蔽
for f in [1000, 1100, 6000]:
    i = int(f/fs*N)
    audible = P_db[i] > total_mask[i]
    margin = P_db[i] - total_mask[i]
    print(f"{f:5d} Hz  能量 {P_db[i]:6.1f} dB, 遮蔽門檻 {total_mask[i]:6.1f} dB -> "
          f"{'可聽見' if audible else '被遮蔽'}（餘裕 {margin:+.1f} dB）")

輸出：

 1000 Hz  能量  -9.5 dB, 遮蔽門檻  -3.5 dB -> 可聽見（餘裕 -6.0 dB）
 1100 Hz  能量 -54.9 dB, 遮蔽門檻 -14.2 dB -> 被遮蔽（餘裕 -40.7 dB）
 6000 Hz  能量 -44.8 dB, 遮蔽門檻 -46.9 dB -> 可聽見（餘裕 +2.1 dB）

結果清楚展示頻率遮蔽：1.1 kHz 的弱音距離 1 kHz 強音僅 0.1 Bark，被其遮蔽曲線完全覆蓋（餘裕 −40.7 dB，可大膽丟棄或僅用 1–2 位元）；而 6 kHz 的弱音雖然更響（−45 vs −55 dB），距離遮蔽者太遠（約 5.7 Bark），門檻只由絕對聽覺曲線決定，仍然可聽見、必須編碼。這正解釋了為什麼 MP3 在複雜音樂上能砍掉 90% 位元而聽感幾乎不變——被砍掉的幾乎全是「耳朵本來就聽不到」的部分。

複雜度分析#

每框：FFT \(O(N\log N)\) ；遮蔽曲線計算對每個遮蔽者需對全部 \(N/2\) 頻點求 spread，若取 \(M\) 個遮蔽者則 \(O(MN)\) ， \(M\) 通常 <20，總成本 \(O(MN + N\log N)\) ，空間 \(O(N)\) 。以 44.1 kHz、 \(N=2048\) （46 ms）、每秒 21.5 框計，每秒約數百萬次運算——1990 年代的 MP3 解碼晶片可即時、現代手機佔用不到一個核心的百分之幾。心理聲學模型本身（ISO MPEG Model 1/2）的工程難點不在計算量，而在參數調校：遮蔽斜率、音調/噪音判別、時間遮蔽窗的長短，每個決定都直接影響音質與位元率的平衡。模型過於保守（門檻估太高）則壓縮率差，過於激進則出現可聽的「預回聲」（pre-echo：暫態前的雜訊，需切換短窗解決，見 6.2 節）。

練習#

修改範例，把弱音從 1.1 kHz 逐步移到 1.5、2、3 kHz，找出被 1 kHz 遮蔽者「救出」的臨界距離，驗證遮蔽曲線向上頻延伸約數 Bark 的特性。
實作兩個遮蔽者（1 kHz 與 4 kHz）的門檻合成（逐頻點取最大），並計算在兩者之間 2.5 kHz 處的總門檻，討論「多重遮蔽取最大」與「能量相加」兩種合成的差異。
合成一段「靜音 → 突然大鼓聲」的訊號，用 46 ms 長窗與 6 ms 短窗各計算一次量化雜訊分布（假設雜訊均勻散布在框內），觀察長窗造成的預回聲現象，說明 MP3 為何需要雙窗長設計。