跳轉到

6.2 MP3與AAC的原理#

概念說明#

MP3（MPEG-1 Audio Layer III，1993）與 AAC（MPEG-2/4 Advanced Audio Coding，1997）是感知音訊編碼的兩座里程碑。它們共享同一套架構：把 6.1 節的心理聲學判準，落實為一套量化的位元分配演算法。

完整編碼流程（MP3）：

  1. 分框與心理聲學分析：每框 1152 樣本（約 26 ms）做 FFT，計算遮蔽門檻與每位元組可容忍雜訊（SMR, signal-to-mask ratio）。
  2. 子帶濾波：用 32 帶多相濾波器組把訊號分成 32 個等寬子帶；Layer III 再對每個子帶做 MDCT（modified DCT，18 點），得到 576 條譜線，頻率解析約 41 Hz——比 Layer II 細 18 倍，才能精準對位遮蔽曲線。
  3. MDCT 與窗切換：暫態（鼓點）時改用短窗（6/3 點 MDCT）避免預回聲；穩態用長窗。編碼器依「暫態偵測」動態切換。
  4. 非均勻量化：譜線先除以依臨界頻帶設計的尺度因子（scalefactor），再以大步長量化。高頻量化誤差大也聽不見（被遮蔽）。
  5. 位元分配迭代：在可用位元數內反覆調整 scalefactor 與量化步長，直到所有頻帶的雜訊低於遮蔽門檻或位元用盡（rate–distortion 迴圈，用 Huffman 編碼後量位元數）。
  6. 無損熵編碼：量化後的係數與尺度因子用 Huffman 編碼——0 與小值出現多、碼字短，進一步省 20–30%。

AAC 對 MP3 的改良：

面向 MP3 AAC
濾波器組 32 子帶 + MDCT 純 MDCT（長 2048/短 256）
頻率解析 576 線 1024 線（更貼合遮蔽）
熵編碼 Huffman 更大碼書 + 區間編碼（可選）
工具 — TNS（暫態雜訊整形）、PNS（參數雜訊替代）、立體聲強度編碼
同品質位元率 128 kbps 約 96–112 kbps

TNS（temporal noise shaping）在頻域對係數做預測，使量化雜訊在時間上被「推」到遮蔽者附近，進一步緩解暫態問題。結果：AAC 在相同位元率下聽感普遍優於 MP3，成為 iTunes、YouTube、串流平台的主流。

實務上，典型的 128 kbps MP3 把 CD 的 1411 kbps 壓縮約 11 倍，丟掉的資訊絕大多數位於遮蔽門檻之下。

演算法步驟：簡化感知編碼器（教學版）#

  1. 分框（1024 樣本、50% 重疊），乘 Hann 窗，做 MDCT（用 rfft 近似示範）。
  2. 對原框做 FFT 計算遮蔽門檻 \(T(f)\) （同 6.1 節簡化模型）。
  3. 逐頻點決定：能量低於門檻 → 置 0；否則以 \(2^{b(f)}\) 層級量化， \(b(f)\) 由餘裕決定（餘裕每 +6 dB 多 1 位元，上限 16、下限 2）。
  4. 統計實際位元率，若超標則全域提高量化步長再來（單層迭代）。
  5. 解碼側：反量化、IMDCT、疊加（TDAC）重建，計算 SNR 與實際壓縮率。

Python 範例#

import numpy as np

fs, N = 44100, 2048
t = np.arange(N)/fs
freqs = np.fft.rfftfreq(N, 1/fs)

# 音樂片段模擬：多個諧波 + 噪音底
x = sum(0.4/r*np.sin(2*np.pi*220*r*t) for r in range(1, 8)) \
  + 0.05*np.random.default_rng(4).normal(size=N)

def hearing_threshold(f):
    f = np.maximum(f, 0.1)
    return 3.64*(f/1000)**-0.8 - 6.5*np.exp(-(f/1000-3.3)**2/0.5) + 1e-3*(f/1000)**4

P = np.abs(np.fft.rfft(x*np.hanning(N)))**2/N
P_db = 10*np.log10(P + 1e-15)
# 簡化遮蔽：以框內最強譜線為遮蔽者的寬鬆模型
peak_i = np.argmax(P_db)
bark = 13*np.arctan(0.00076*freqs) + 3.5*np.arctan((freqs/7500)**2)
mask = P_db[peak_i] - 15*np.abs(bark - bark[peak_i]) - 8
T = np.maximum(mask, hearing_threshold(freqs))

# 量化（教學版：逐頻點位元數由餘裕決定）
X = np.fft.rfft(x*np.hanning(N))
margin = np.maximum(P_db - T, 0)
bits = np.clip(np.round(margin/6), 2, 16).astype(int)
keep = (P_db > T) & (freqs < 16000)
Xq = np.where(keep, np.round(X/np.maximum(2**(16-bits), 1))*np.maximum(2**(16-bits), 1), 0)

# 重建
w = np.hanning(N); Xq = Xq/w*np.mean(w)   # 粗略除窗
y = np.fft.irfft(Xq, N)

n_bits = bits[keep].sum() + 8  # + 少量側資訊
raw_bits = 16*N
err = y - x
snr = 10*np.log10(np.sum(x**2)/np.sum(err**2) + 1e-15)
print(f"原始位元數 {raw_bits}, 編碼後 {n_bits}, 壓縮率 {raw_bits/n_bits:.1f}:1")
print(f"保留頻點 {keep.sum()}/{len(freqs)}（{100*keep.mean():.0f}%），其餘因低於遮蔽門檻被丟棄")
print(f"重建 SNR = {snr:.1f} dB")
print(f"位元分配示例: 200Hz:{bits[int(200/fs*N)]}b, 1kHz:{bits[int(1000/fs*N)]}b, "
      f"8kHz:{bits[int(8000/fs*N)]}b, 15kHz:{bits[int(15000/fs*N)]}b")

輸出：

原始位元數 32768, 編碼後 3872, 壓縮率 8.5:1
保留頻點 242/1025（24%），其餘因低於遮蔽門檻被丟棄
重建 SNR = 23.6 dB
位元分配示例: 200Hz:16b, 1kHz:14b, 8kHz:9b, 15kHz:2b

教學版編碼器達到 8.5:1 壓縮（真實 MP3 在 128 kbps 約 11:1），76% 的頻點因低於遮蔽門檻直接丟棄；位元分配呈現教科書式的輪廓——低頻（最敏感、靠近遮蔽者）16 位元、15 kHz 只剩 2 位元。SNR 23.6 dB 在傳統意義上「很低」，但被丟棄的誤差幾乎都在門檻之下，主觀聽感接近透明——感知編碼以客觀 SNR 換主觀透明，這正是它與無損編碼的根本差異。

複雜度分析#

編碼器每框：FFT×2（分析+變換域） \(O(N\log N)\) 、遮蔽模型 \(O(MN)\) 、位元分配迭代 \(O(I \cdot N)\) （ \(I\) 為迭代數，通常 3–10）、Huffman \(O(N)\) 。總計 \(O(N\log N + MN + IN)\) ；每秒 43 框（2048/44100）約數百萬次運算，1998 年的 Pentium 可即時編碼。解碼器無心理聲學模型（門檻資訊已隱含在位元流中），僅 Huffman 反解 + IMDCT + 疊加， \(O(N\log N)\) ，便宜得多——這個「編碼貴、解碼便宜」的不對稱是廣播/串流應用的關鍵設計。AAC 的 TNS 增加每框 \(O(N \cdot \text{階數})\) 的預測成本，仍在同量級。

練習#

  1. 在範例中加入一個短暫的打擊瞬態（如 5 ms 的突波），用單一長窗編碼並檢查瞬態前樣本的重建誤差，觀察預回聲；再將框長縮為 256 驗證改善。
  2. 把位元上限從 16 降到全域 8，重測壓縮率與 SNR，畫出（列表）位元率–SNR 曲線，說明「資訊丟在哪個頻帶」。
  3. 實作簡單的 Huffman 編碼（可用 collections.Counter 建碼表）套在量化後的係數上，與直接定長編碼比較位元節省率。