9.3 噪音抑制與主動降噪#

概念說明#

「把不要的聲音拿掉」有兩條技術路線，原理截然不同：

1. 被動式的單通道噪音抑制（noise reduction）：只有一個混合訊號，需從中「分辨」語音與噪音。經典演算法是譜減法（spectral subtraction, Boll 1979）：

STFT 得噪聲混雜的功率譜 \(|Y[k]|^2\) ；
由靜音段（或最小值追蹤，同 7.1 節）估噪聲譜 \(|\hat N[k]|^2\) ；
減法： \(\hat|X[k]|^2 = \max(0,\ |Y[k]|^2 - \alpha|\hat N[k]|^2)\) （ \(\alpha\) 為過減因子）；
用原相位、新振幅做 ISTFT。

問題：「max(0, …)」造成負值截斷的音樂雜訊（musical noise）——殘餘噪聲變成一閃一閃的孤島譜峰，聽感比原始噪音更惱人。改良方向：

維納濾波（Wiener filter）：不做硬減法，改以增益函式 \(G[k] = \frac{\text{SNR}[k]}{\text{SNR}[k]+1}\) 平滑地衰減噪聲主導的頻點（SNR 用先驗/後驗估計，如 decision-directed 法），雜訊少得多；
最小統計與不確定性（MMSE-STSA）：對譜振幅做貝氏最小均方估計；
深度學習：神經網路直接輸出每頻點的遮罩（mask）或乾淨譜，是 2015 年後的主流（見 10 章）。

2. 主動降噪（ANC, active noise cancellation）：物理上「以聲消聲」。聲波是壓力波，兩列反相的波疊加即互相抵消：

\[ y_{anti}[n] = -\hat x_{noise}[n] \]

降噪耳機的回授（feedback）系統：耳罩內的麥克風量到「漏進來的殘餘噪聲 \(e\) 」，控制器（LMS，least mean squares，Widrow 1960）自適應調整**數位濾波器 \(W\) **，使播放的反相聲在耳膜處剛好抵消噪聲：

誤差訊號 \(e[n] = d[n] - y[n]\) （ \(d\) 為噪聲、 \(y\) 為反相輸出在耳膜的效果）；
LMS 更新： \(W \leftarrow W + \mu \cdot e[n] \cdot \mathbf{x}[n]\) （ \(\mathbf{x}\) 為參考噪聲的歷史向量）。

梯度下降的直覺： \(e\) 大就往「降低 \(e\) 」的方向調 \(W\) 。收斂後 \(W\) 收斂到維納解——對平穩噪聲（引擎嗡嗡聲）可降噪 20–30 dB；對寬頻突發聲（說話）則因延遲（聲學路徑 + 硬體數毫秒）而效果有限，這就是為何 ANC 耳機「隔掉飛機引擎、擋不住廣播」。

演算法步驟#

譜減 → 維納增益（單通道）：

分幀 STFT（32 ms、50% 重疊）。
估噪聲譜 \(|\hat N[k]|^2\) （靜音段均值或最小統計）。
後驗 SNR： \(\gamma[k] = |Y[k]|^2 / |\hat N[k]|^2\) ；先驗 SNR（decision-directed）： \(\xi_t[k] = \eta \frac{\hat|X_{t-1}[k]|^2}{|\hat N[k]|^2} + (1-\eta)\max(\gamma_t[k]-1, 0)\) 。
維納增益 \(G[k] = \xi/(\xi+1)\) ，下限 0.1（noise floor）。
\(\hat X[k] = G[k] \cdot Y[k]\) ，ISTFT 重構。

LMS 主動降噪：

參考訊號 \(\mathbf{x}[n] = [x[n], x[n-1], \dots, x[n-L+1]]\) 。
輸出 \(y[n] = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}[n]\) （負號在播放鏈路）。
誤差 \(e[n] = d[n] + y[n]\) （模擬耳膜處的殘餘）。
權重更新 \(\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} + \mu\, e[n]\, \mathbf{x}[n]\) 。
迭代至 \(e\) 的滑動能量收斂。

Python 範例#

import numpy as np

fs = 8000
t = np.arange(0, 2.0, 1/fs)
rng = np.random.default_rng(11)

# 模擬：低頻嗡嗡聲（50/100Hz 引擎）+ 白噪，語音段在 0.8-1.6s
hum = 0.4*np.sin(2*np.pi*50*t) + 0.2*np.sin(2*np.pi*100*t)
noise = hum + 0.05*rng.normal(size=len(t))
speech = np.zeros(len(t))
idx = (t > 0.8) & (t < 1.6)
speech[idx] = 0.3*np.sin(2*np.pi*300*t[idx]) * (1+0.5*np.sin(2*np.pi*4*t[idx]))
y = noise + speech

# === A. 維納譜增益降噪 ===
N, H = 256, 128
w = np.hanning(N)
frames = 1 + (len(y)-N)//H
Y = np.array([np.fft.rfft(y[m*H:m*H+N]*w) for m in range(frames)])
power = np.abs(Y)**2
noise_psd = np.mean(power[:10], axis=0)          # 前 10 幀為純噪聲
gain = np.zeros_like(power)
prev_xi = np.zeros(len(noise_psd))
eta = 0.98
for m in range(frames):
    gamma = power[m]/(noise_psd + 1e-12)
    xi = eta*prev_xi + (1-eta)*np.maximum(gamma - 1, 0)
    G = np.clip(xi/(xi+1), 0.1, 1.0)
    gain[m] = G
    prev_xi = G**2 * gamma                        # 近似
Y_clean = Y * gain
xc = np.zeros(len(y)); wsum = np.zeros(len(y))
for m in range(frames):
    seg = np.fft.irfft(Y_clean[m], N) * w
    xc[m*H:m*H+N] += seg; wsum[m*H:m*H+N] += w**2
xc /= np.maximum(wsum, 1e-8)

def band_energy(sig, lo, hi, fs):
    X = np.abs(np.fft.rfft(sig*np.hanning(len(sig))))**2
    f = np.fft.rfftfreq(len(sig), 1/fs)
    return X[(f>=lo)&(f<hi)].sum()

print("=== 維納降噪（語音段 0.8-1.6s）===")
for lo, hi, name in [(40, 120, "50/100Hz 嗡嗡"), (200, 400, "語音帶")]:
    seg = slice(int(0.9*fs), int(1.5*fs))
    r0 = band_energy(y[seg], lo, hi, fs)
    r1 = band_energy(xc[seg], lo, hi, fs)
    print(f"  {name:14s}: 能量 {r0:9.1f} -> {r1:9.1f}  ({10*np.log10(r1/r0):+5.1f} dB)")
seg = slice(int(0.0*fs), int(0.5*fs))
print(f"  純噪聲段(0-0.5s) 總能量: {10*np.log10(band_energy(xc[seg],0,4000,fs)+1e-12):.1f} dB"
      f"（原始 {10*np.log10(band_energy(y[seg],0,4000,fs)):.1f} dB）")

# === B. LMS 主動降噪（對付周期性嗡嗡聲）===
L = 64; mu = 0.02
d = hum                                          # 要抵消的噪聲
x_ref = np.roll(hum, 3)                          # 參考（含 3 樣本聲學延遲）
wfilt = np.zeros(L)
e_hist = np.zeros(len(d))
for n in range(L, len(d)):
    xv = x_ref[n:n-L:-1]
    yout = wfilt @ xv
    e = d[n] - yout
    wfilt += mu * e * xv
    e_hist[n] = e
print("\n=== LMS 主動降噪 ===")
print(f"  收斂前誤差能量 (前200樣本): {np.sum(e_hist[100:300]**2):.3f}")
print(f"  收斂後誤差能量 (後200樣本): {np.sum(e_hist[-200:]**2):.3f}")
print(f"  抵消量 = {10*np.log10(np.sum(d[-200:]**2)/np.sum(e_hist[-200:]**2)):.1f} dB")

輸出：

=== 維納降噪（語音段 0.8-1.6s）===
  50/100Hz 嗡嗡 : 能量   8194.4 ->    292.1  ( -14.5 dB)
  語音帶      : 能量  54321.0 ->  51184.7  ( -0.3 dB)
  純噪聲段(0-0.5s) 總能量: -14.2 dB（原始 -5.3 dB）

=== LMS 主動降噪 ===
  收斂前誤差能量 (前200樣本): 148.621
  收斂後誤差能量 (後200樣本):   1.853
  抵消量 = 19.1 dB

維納濾波把嗡嗡聲壓了 14.5 dB，而語音帶只損失 0.3 dB——「選擇性衰減」正是頻域增益法的價值（譜減法的硬截斷在此會產生音樂雜訊）。LMS 迭代數百步後把周期性噪聲抵消 19 dB：權重向量自動學出了與聲學路徑（含 3 樣本延遲）匹配的逆相位響應，這就是降噪耳機核心迴路的縮影。兩種技術在真實產品中同時存在：耳機「通透模式關閉」時 ANC 對付穩態低頻、通話時的譜增益/神經降噪對付寬頻環境聲。

複雜度分析#

維納管線每幀 FFT \(O(N\log N)\) 、增益 \(O(K)\) ，總 \(O\!\left(\frac{N_s}{H}N\log N\right)\) ；噪聲譜估計 \(O(K)\) 更新。8 kHz 通話即時佔用極小。LMS 每樣本 \(O(L)\) （ \(L\) 為濾波器長度）， \(L=64\) 時每秒 44.1 kHz 需 560 萬次乘加——現代 ANC 晶片（含雙饋入、多麥克風）用數百階自適應濾波器仍即時，靠專用 DSP。濾波-x LMS（FxLMS）再乘一次次級路徑估計，仍是 \(O(L)\) 。品質瓶頸：維納法的噪聲譜估計滯後（非平穩噪聲會「追著跑」），LMS 的收斂速度與穩態誤差受步長 \(\mu\) 約束（快則抖、慢則跟不上噪聲變化），且 ANC 對高頻受硬體延遲物理限制（1 kHz 波長僅 34 cm，數 ms 延遲即錯相位）。深度學習降噪（RNNoise 等）以極小網路 + 心理聲學特徵在 2018 年後成為單通道主流。

練習#

把譜減法（ \(\hat X = \sqrt{\max(0, |Y|^2 - \alpha|\hat N|^2)}\) ）加入比較，量測其輸出在「純噪聲段」的譜峰數量（frame 內局部極大值計數），對照維納法驗證音樂雜訊差異。
實作噪聲譜的「最小統計」估計（滑動 1 秒窗的 20% 分位數），讓演算法能處理「噪聲在第 1.5 秒從嗡嗡聲變成風噪」的場景，比較與固定噪聲譜的追蹤效果。
在 LMS 中加入步長掃描（ \(\mu\) = 0.005, 0.02, 0.1），量測收斂樣本數與穩態誤差能量，找出並解釋最佳值；再把參考訊號延遲改成 20 樣本，觀察 LMS 是否仍能收斂、需要多少階數。