8.1 邏輯斯蒂映射#

概念說明#

邏輯斯蒂映射是生態學中「人口比例」模型的離散化：

\(x\) 是某物種占環境容量的比例， \(r\) 是繁殖率。它只有一個乘法與一個減法，卻是混沌理論的果蠅——幾乎所有混沌現象都能在這裡觀察。

隨 \(r\) 增大，長期行為（軌道極限集）經歷完整的「異變路線」：

1. \(0 < r \le 1\) ： \(x \to 0\) （滅絕）。
2. \(1 < r < 3\) ：收斂到不動點 \(x^* = 1 - 1/r\) 。用 2.1 節判據： \(g'(x^*) = 2 - r\) ， \(|2 - r| < 1 \iff 1 < r < 3\) ，完全吻合。
3. \(r = 3\) ：不動點失穩（導數絕對值達 1），誕生週期 2 軌道——每次在兩個值之間輪迴。
4. \(3 < r < 4\) ：週期倍增級聯：週期 2 → 4 → 8 → …，分岔點 \(r_n\) 以幾何速度逼近極限 \(r_\infty \approx 3.5699\) ，相鄰分岔間距之比收斂到 Feigenbaum 常數 \(\delta \approx 4.6692\) ——普适於所有單峰映射，是混沌理論最深刻的發現之一。
5. \(r_\infty < r \le 4\) ：混沌。軌道永不重複、有界卻非週期；相鄰軌道以 Lyapunov 指數 \(\lambda = \lim \frac{1}{n}\sum \ln|g'(x_k)| > 0\) 的指數速率分離。浮點精度只有 16 位，意味著預測時限約 \(\ln(10^{16})/\lambda \approx 37/\lambda\) 步——之後的軌跡與真值完全脫鉤（確定性系統的不可預測性）。

混沌區內還藏著週期窗口（如 \(r \approx 3.83\) 的週期 3）與自我相似的精細結構。對初始條件的敏感依賴（蝴蝶效應）正是 \(\lambda > 0\) 的通俗說法。

生活類比#

繁殖率低時，族群年年穩定；繁殖率適中時，族群隔年暴增暴減輪流（週期 2，像「大小年」）；繁殖率太高時，系統變得無法預測——同樣的起點，明年結果卻截然不同，如同天氣：規則簡單，長期預報注定失準。

演算法步驟#

繪製分岔圖（pitchfork 圖）的流程：

1. 對每個參數 \(r\) （橫軸，步長約 0.001）：
2. 從隨機 \(x_0\) 迭代若干步（如 100）丟棄（暫態，讓軌道「落進」吸引子）。
3. 再迭代 \(M\) 步（如 200），把每個 \(x_k\) 畫在縱軸上。
4. 吸引子是點（穩定）、幾點（週期）或密布區間（混沌）。

計算 Lyapunov 指數：沿軌道累加 \(\ln|g'(x_k)| = \ln|r(1 - 2x_k)|\) ，除以步數。

Python 範例#

import numpy as np

def bifurcation_points(r, n_trans=100, n_keep=200, x=0.5):
    """回傳 r 下的吸引子樣本"""
    for _ in range(n_trans):
        x = r * x * (1 - x)
    pts = []
    for _ in range(n_keep):
        x = r * x * (1 - x)
        pts.append(x)
    return pts

# 檢查幾個代表性 r
for r in [2.5, 3.2, 3.5, 3.83, 3.9]:
    pts = bifurcation_points(r)
    uniq = np.unique(np.round(pts, 4))
    print(f"r = {r}: 吸引子 ≈ {uniq[:8]}（{len(uniq)} 個樣本值）")

# Lyapunov 指數隨 r 的變化
def lyapunov(r, n=1000, x=0.4):
    total = 0.0
    for _ in range(n):
        x = r * x * (1 - x)
        total += np.log(abs(r * (1 - 2 * x)))
    return total / n

for r in [3.0, 3.5, 3.9]:
    print(f"r = {r}: λ ≈ {lyapunov(r):+.4f}"
          f"（{'混沌' if lyapunov(r) > 0 else '穩定/週期'}）")

# 分岔圖資料（可配合 matplotlib 繪圖）
# rs = np.linspace(2.5, 4.0, 1500)
# for r in rs:
#     xs = bifurcation_points(r)
#     plt.plot([r]*len(xs), xs, ',k', alpha=0.25)

複雜度與收斂性分析#

單步迭代 \(O(1)\) ，模擬 \(n\) 步即 \(O(n)\) 。分析方法上，本例是 2.1 節局部收斂判據的活教材：不動點穩定性由 \(|g'(x^*)|\) 是否小於 1 決定，失穩（ \(|g'| = 1\) ）即分岔誕生週期軌道。混沌的量化指標：Lyapunov 指數 \(\lambda > 0\) ；可預測時限 \(\approx \ln(\text{精度})/\lambda\) ，對雙精度與 \(\lambda \approx 0.7\) （ \(r = 4\) 時 \(\lambda = \ln 2\) ）約為 50 步——再精確的浮點也買不到長期預測。Feigenbaum 分析則顯示：即使「不收斂」的迭代，其結構（分岔比的極限）仍有普适規律。

練習#

1. 實測週期 2 的兩個軌道值（ \(r = 3.2\) ），驗證它們滿足 \(g(g(x)) = x\) 且不滿足 \(g(x) = x\) 。
2. 畫出（或計算） \(r \in [2.9, 4.0]\) 的分岔圖，估算 Feigenbaum 常數（用最後幾個分岔點的間距比）。
3. 取 \(r = 3.9\) 、兩個初始值差 \(10^{-15}\) ，迭代 60 步記錄軌道差，驗證指數放大並估算 \(\lambda\) 。