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1.2 量子位元與疊加#

什麼是量子位元？#

古典位元只能處於 \(0\) 或 \(1\) 兩種狀態之一。量子位元（qubit） 則可以處於兩者的線性組合（疊加）：

\[ |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \]

其中 \(\alpha, \beta\) 是複數，我們用狄拉克記號 \(|\cdot\rangle\) （ket）表示狀態向量。這個式子的物理意義是：當我們測量這個量子位元時，以機率 \(|\alpha|^2\) 得到 \(0\) 、以機率 \(|\beta|^2\) 得到 \(1\) 。由於機率總和必須為 1，狀態必須歸一化：

\[ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \]

在數學上，一個量子位元的狀態就是二維複數向量空間 \(\mathbb{C}^2\) 中的單位向量，寫作：

\[ |0\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \qquad |1\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \]

因此 \(|\psi\rangle\) 對應向量 \((\alpha, \beta)^T\) 。這是第二、三章數學工具的起點。

全域相位：物理上無法區分的狀態#

一個微妙但重要的事實： \(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\) 與 \(e^{i\theta}(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)\) 測量機率完全相同。這個係數 \(e^{i\theta}\) 稱為全域相位，對單一系統的測量不可觀察。但請注意：相對相位是可觀察的。 \(|0\rangle+|1\rangle\) 與 \(|0\rangle-|1\rangle\) 機率分佈相同，但通過 Hadamard 閘後，前者變成 \(|0\rangle\) 、後者變成 \(|1\rangle\) ——相對相位會在干涉中顯現。Grover 與 Shor 演算法的核心技巧都在於精心安排相對相位。

布洛赫球：量子位元的幾何圖像#

任何單量子位元純態都可以寫成：

\[ |\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle \]

參數 \(\theta, \varphi\) 把狀態映射到三維球面上的點，這個球稱為布洛赫球（Bloch ball）。 \(|0\rangle\) 是北極、 \(|1\rangle\) 是南極，赤道上是 \((|0\rangle \pm |1\rangle)/\sqrt{2}\) 與 \((|0\rangle \pm i|1\rangle)/\sqrt{2}\) 這四個「等重量疊加」。量子閘的作用在幾何上就是繞球面某個軸旋轉——這個圖像讓第 3 章的旋轉閘變得直觀。

測量抽走了一部分資訊#

從 \(n\) 個實數才能參數化的布洛赫球，測量後只剩一個位元。這是量子資訊與古典資訊最根本的落差：不可讀出、不可克隆（第 4 章），但也因此提供了只有在提取某些特定資訊（如全域函數性質）時才能利用的資源。

程式範例：用 numpy 表示疊加態#

import numpy as np

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)

def state(alpha, beta):
    s = alpha*ket0 + beta*ket1
    assert abs(np.vdot(s, s) - 1) < 1e-12, "狀態未歸一化"
    return s

# 等重量疊加：( |0> + |1> ) / sqrt(2)
plus = state(1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2))
minus = state(1/np.sqrt(2), -1/np.sqrt(2))

def measure_probs(psi):
    return np.abs(psi)**2

print(measure_probs(plus))   # [0.5 0.5] => 測量各半
print(measure_probs(state(3/5, 4j/5)))   # [0.36 0.64]

# 驗證相對相位的效果（喂給 Hadamard 閘）
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)
print(H @ plus)    # [1 0] => 恆為 0（振幅同相加強）
print(H @ minus)   # [0 1] => 恆為 1（振幅反相抵消）

練習後你可看到：plus 與 minus 測量機率相同，但對機率分佈「逆運算」後行為截然不同。這個程式就是最簡單的「量子模擬器」——第 3 章將把它推廣成多量子位元版本。

命題—證明範例#

命題：任何二維單位複向量都可寫成 \(\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle\) 的形式。

證明：設 \(|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\) ， \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) 。因 \(\alpha\) 是複數，可取全域相位使 \(\alpha \ge 0\) （全域相位如上所述不影響物理），令 \(\alpha=\cos\frac{\theta}{2}\) ， \(\theta \in [0,\pi]\) 由 \(\cos^2\) 值唯一決定（因 \(\alpha\ge0\) 且 \(|\alpha| \le 1\) ）。此時 \(|\beta|=\sin\frac{\theta}{2}\) ，故 \(\beta = e^{i\varphi}\sin\frac{\theta}{2}\) ，其中 \(\varphi = \arg\beta\) 。 \(\blacksquare\)

複雜度觀點#

一個量子位元的純態以兩個實數參數化， \(n\) 個相互糾纏的量子位元需要指數多的參數（第 2 章證明）。這是「量子模擬很難、量子計算可能很快」的同一枚硬幣兩面。

練習#

  1. 驗證 \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) 時 \((3/5, 4j/5)\) 是合法狀態，並求測得 \(|1\rangle\) 的機率。
  2. 證明 \(e^{i\theta}|\psi\rangle\) 與 \(|\psi\rangle\) 對任何測量都有相同機率分佈。
  3. 在布洛赫球上指出狀態 \((|0\rangle + i|1\rangle)/\sqrt{2}\) 的位置（極角 \(\theta, \varphi\) 各是多少？）。