1.3 量子力學基本原理#

本章把後續章節需要用到的量子力學原理整理成「計算規則」。讀者不需要物理背景，只要把這些規則當作公理接受，就能推導出全書所有演算法。

原理一：態的疊加原理#

孤立量子系統的狀態由希爾伯特空間（本書只需有限維複數向量空間 \(\mathbb{C}^{2^n}\) ）中的單位向量描述。若 \(|\psi_1\rangle\) 與 \(|\psi_2\rangle\) 都是可能的狀態，則任何歸一化的線性組合 \(a|\psi_1\rangle+b|\psi_2\rangle\) 也是可能的狀態。這就是疊加原理，也是 1.2 節的數學基礎。

原理二：演化由么正變換描述#

孤立系統的狀態隨時間連續演化，其演化由么正矩陣（unitary） \(U\) 描述： \(|\psi'\rangle = U|\psi\rangle\) ，滿足 \(U^\dagger U = I\) （ \(U^\dagger\) 是共軛轉置）。么正性保證兩件事：

1. 內積（反之機率）守恆： \(\langle\psi'|U^\dagger U|\psi\rangle' = \langle\psi|\psi\rangle\) ；
2. 演化可逆： \(U\) 的逆就是 \(U^\dagger\) ，且仍是么正的。

量子計算裡的閘就是么正矩陣。這條原理解釋了為什麼量子電腦不能直接做古典的 AND、OR（它們不可逆、把兩個輸入映射成一個輸出），而必須設計成可逆形式（第 3 章的 Toffoli 閘）。

原理三：測量的機率法則（Born 規則）#

對狀態 \(|\psi\rangle\) ，測量某觀察量 \(M\) 得到特徵值 \(m\) 的機率是

其中 \(|m\rangle\) 是 \(M\) 對應特徵值 \(m\) 的特徵向量。在量子計算的標準測量（computational basis measurement）裡， \(M\) 就是 \(Z\) 閘（Pauli-Z \(\text{diag}(1,-1)\) ）， \(|0\rangle,|1\rangle\) 是其特徵向量，於是得到 1.2 節所述的 \(|\alpha|^2,|\beta|^2\) 規則。

測量後狀態坍縮：測得 \(m\) 之後，狀態立刻變成 \(|m\rangle\) 。這是不可逆過程，也是模擬器中 measure 函式需「抽樣並坍縮」的原因（第 4 章詳述）。

原理四：複合系統與糾纏#

兩個量子位元的聯合狀態存在於張量積空間 \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4\) 。若能把聯合狀態寫成 \(|\psi\rangle_A \otimes |\phi\rangle_B\) ，稱為可分離；否則稱為糾纏（entangled）。經典例子：

無法分解成兩個單位元狀態的乘積。糾纏是量子資訊最奇特、最有用的資源，第 3、4 章將大量使用。

原理五：不可克隆定理（預告）#

不存在一個物理過程能把任意未知量子態 \(|\psi\rangle\) 複製成兩份。這條定理可以由么正性直接推出（第 4.2 節給證明），是量子密碼學安全性的根據。

程式範例：驗證么正演化與 Born 規則#

import numpy as np

# 任取一個么正矩陣（此處用 Hadamard）
H = np.array([[1,  1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)

# 檢查 U^dagger U = I
I = H.conj().T @ H
print(np.allclose(I, np.eye(2)))          # True

# 檢查內積守恆
psi = np.array([1/np.sqrt(2), 1j/np.sqrt(2)])
psi2 = H @ psi
print(np.vdot(psi, psi).real, np.vdot(psi2, psi2).real)   # 1.0 1.0

# Born 規則：|測得 1 的機率> = |<1|psi>|^2
ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)
p1 = abs(np.vdot(ket1, psi))**2
print(p1)                                  # 0.5

# 模擬 10000 次測量
np.random.seed(0)
draws = np.random.choice([0, 1], size=10000, p=np.abs(psi)**2)
print(np.mean(draws))                      # 約 0.5

這些原理如何串起全書#

練習#

1. 證明兩個么正矩陣的乘積仍是么正；矩陣 \(K=\text{diag}(1, e^{i\varphi})\) 是否么正？
2. 給定 \(|\psi\rangle=(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2i}{\sqrt{3}})\) 並不合法，請求出使其合法的最小修正（把第一分量改為多少？）。
3. 用程式驗證 \(|\Phi^+\rangle = (|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2}\) 無法分解為兩個二維單位向量的 Kronecker 乘積。（提示：寫一個小迴圈列舉所有 \(\alpha,\beta\) 網格。）