2.1 複數向量與內積#

概念說明#

量子態寫成複數向量。單一量子位元的狀態是二維複數向量

其中 \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\) 稱為振幅，條件 \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\) 稱為正規化。複數 \(\alpha = a + bi\) 的絕對值 \(|\alpha| = \sqrt{a^2+b^2}\) ，共軛為 \(\alpha^* = a - bi\) 。

兩向量的內積定義為

注意第一個向量要取共軛。內積的兩個關鍵性質：

• 範數： \(\langle\psi|\psi\rangle = \|\psi\|^2\) ，正規化即要求它等於 1。
• 正交： \(\langle\phi|\psi\rangle = 0\) 。例如 \(\langle 0|1\rangle = 0\) ，這對應「測得 0 與測得 1 互斥」。

測量機率由 Born 規則給出：量測 \(|\psi\rangle\) 得到基底態 \(|i\rangle\) 的機率是 \(|\langle i|\psi\rangle|^2 = |\psi_i|^2\) 。這就是「振幅的平方是機率」的精確意義。

演算法步驟（以 numpy 驗證量子態性質）#

1. 用複數 numpy 陣列表示量子態。
2. 檢查正規化：np.vdot(psi, psi).real == 1。
3. 計算內積、判斷正交。
4. 由振幅計算測量機率並抽樣驗證。

Python 範例#

import numpy as np

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)

# 一個疊加態：|+> = (|0> + |1>)/sqrt(2)
plus = (ket0 + ket1) / np.sqrt(2)
print("正規化檢查:", np.vdot(plus, plus).real)   # 1.0
print("<0|+> =", np.vdot(ket0, plus))            # 0.7071...j 0
print("<0|+>|^2 =", abs(np.vdot(ket0, plus))**2) # 測得 0 的機率 0.5

# 正交性
print("<0|1> =", np.vdot(ket0, ket1))            # 0

# 用振幅直接算機率分佈
probs = np.abs(plus)**2
rng = np.random.default_rng(42)
samples = rng.choice([0, 1], size=10000, p=probs)
print("10000 次量測中 0 出現", np.sum(samples == 0), "次")  # 約 5000

複雜度分析#

對 \(d\) 維向量：內積、加法、純量乘法都是 \(O(d)\) ；對 \(n\) 個量子位元 \(d = 2^n\) ，因此任何「逐振幅」的操作在古典模擬器上都是指數成本。這是狀態向量模擬器的基本限制，也是本書所有模擬程式的時間下界。

練習#

1. 驗證 \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \frac{1+i}{\sqrt{6}}|1\rangle\) 是否正規化，並計算測得 \(|0\rangle\) 、 \(|1\rangle\) 的機率。
2. 寫一個函式 is_valid_state(v) 判斷一個複數向量是否為合法量子態（正規化且維度為 2 的次方）。
3. （觀念）兩個正交的量子態 \(|\phi\rangle, |\psi\rangle\) 為何可以被「完美區分」？用測量機率說明。