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2.2 么正矩陣與量子閘#

概念說明#

量子力學第二條基本原理：封閉系統的演化由么正算子描述。一個矩陣 \(U\) 是么正的，若且唯若

\[ U^\dagger U = UU^\dagger = I \]

其中 \(U^\dagger\) 是共軛轉置（先轉置再取每個元素的共軛）。么正性帶來三個直接後果：

  1. 守恆機率： \(\|U\psi\| = \|\psi\|\) ，演化不會改變向量的長度，因此總機率永遠是 1。
  2. 可逆： \(U^{-1} = U^\dagger\) ，量子計算（測量前）本質上是可逆計算。
  3. 保持內積： \(\langle U\phi | U\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle\) ，正交態經演化後仍正交。

量子閘就是小的么正矩陣。單量子位元最重要的幾個：

  • Pauli 矩陣： \(X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) （位元翻轉）、 \(Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) （相位翻轉）、 \(Y\) ；
  • Hadamard： \(H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) ，把 \(|0\rangle\) 變成均勻疊加 \(|+\rangle\) ；
  • 相位閘 \(S = \mathrm{diag}(1, i)\) 與旋轉閘 \(R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\) 。

每一個都是么正矩陣，可以直接驗證。

演算法步驟#

  1. 定義矩陣 \(U\) （複數 numpy 陣列）。
  2. 驗證么正性：np.allclose(U.conj().T @ U, np.eye(2))。
  3. 將閘作用於態：new_state = U @ state。
  4. 由結果態的振幅計算測量機率。

Python 範例#

import numpy as np

I2 = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)
S = np.array([[1, 0], [0, 1j]], dtype=complex)

def is_unitary(U, tol=1e-10):
    d = U.shape[0]
    return np.allclose(U.conj().T @ U, np.eye(d), atol=tol)

for name, U in [("X", X), ("Z", Z), ("H", H), ("S", S)]:
    print(name, "是么正矩陣嗎?", is_unitary(U))

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
plus = H @ ket0
print("H|0> =", plus)                 # |+> 疊加態
print("再作用一次 H：", H @ plus)      # 回到 |0>，H 是自己的反矩陣

# HXH = Z：共軛關係
print("HXH =\n", H @ X @ H)           # 等於 Z

複雜度分析#

單量子位元閘作用於 \(n\) 位元狀態向量：實作上只需更新被該閘觸及的兩個振幅群，成本 \(O(2^n)\) （逐振幅寫入），記憶體也是 \(O(2^n)\) 。一般 \(d\times d\) 矩陣乘向量是 \(O(d^2)\) ，但稀疏的量子閘可降到 \(O(d)\) 。

練習#

  1. 驗證 \(Y = \begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}\) 是么正矩陣，並計算 \(Y|0\rangle\) 。
  2. 證明任意 \(2\times 2\) 么正矩陣可寫成 \(e^{i\varphi} R_z(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma)\) 的形式（提示：查閱 Z-Y 分解）。
  3. （程式）寫函式 apply_1q(U, state, qubit)，把單量子位元閘 \(U\) 作用在 \(n\) 位元狀態向量的第 qubit 個位元上，且複雜度為 \(O(2^n)\) 而非 \(O(4^n)\) 。