3.2 雙量子位元閘 CNOT 與糾纏#

概念說明#

CNOT（controlled-NOT，控制反閘）是第一個雙量子位元閘，也是量子電路中唯一「把兩個位元綁在一起」的基本閘。它的真值表：

控制	標的	輸出
0	0	00
0	1	01
1	0	11
1	1	10

規則：控制位元為 1 時，翻轉標的位元。矩陣形式（基底順序 \(|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\) ）：

\[ \mathrm{CNOT} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix} \]

CNOT 最大的功勞是製造糾纏。標準程序：

H 作用在控制位元： \(|00\rangle \to \frac{|00\rangle+|10\rangle}{\sqrt2}\) ；
CNOT： \(\to \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2} = |\Phi^+\rangle\) （Bell 態）。

直觀理解：H 之後控制位元處於「0 與 1 的疊加」，CNOT 則讓「若為 1 就翻轉標的」這條規則作用在整個疊加上，於是兩個位元的命運被綁在一起——這是古典邏輯閘做不到的，因為古典 XOR 不可逆，而 CNOT 是可逆的（再作用一次就還原）。

CNOT 與單量子位元閘的組合可以建構交換（SWAP）、受控相位（CZ = H·CNOT·H）等更大結構。

Python 範例#

import numpy as np

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)
CNOT = np.array([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0]], dtype=complex)

def kron(*vecs):
    out = np.array([1], dtype=complex)
    for v in vecs:
        out = np.kron(out, v)
    return out

# Bell 態電路：H(控制) 後接 CNOT
bell = CNOT @ kron(H @ ket0, ket0)
print("Bell 態:", np.round(bell, 3))
print("糾纏嗎? 秩 =", np.linalg.matrix_rank(bell.reshape(2, 2)))  # 2 > 1

# CNOT 是可逆的：作用兩次=恆等
print("CNOT^2 == I:", np.allclose(CNOT @ CNOT, np.eye(4)))

# SWAP = 3 個 CNOT
CNOT_r = CNOT  # 此基底下對稱
SWAP = CNOT_r @ CNOT_r @ CNOT_r
x0 = kron(ket1, ket0)          # |10>
print("SWAP|10> =", np.round(SWAP @ x0, 3))   # -> |01>

# 糾纏態的測量相關性：量第一個位元
rng = np.random.default_rng(0)
p = np.abs(bell)**2
samples = rng.choice(4, size=10000, p=p)
print("00 出現:", np.mean(samples == 0), " 11 出現:", np.mean(samples == 3))
# 01 與 10 從不出現：兩位元永遠相同

複雜度分析#

CNOT 作用在 \(n\) 位元狀態向量上：只交換「控制位元=1」的那一半振幅，成本 \(O(2^{n-1}) = O(2^n)\) 。SWAP 需 3 個 CNOT。一般受控 \(U\) 的稠密矩陣是 \(2^n \times 2^n\) ，但結構化的受控閘同樣只需 \(O(2^n)\) 更新。

練習#

計算 CNOT 作用在 \(\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt2}\) 的結果，說明為什麼 Bell 態經 CNOT 後仍是糾纏態。
用 H 與 CNOT 製造 \(|\Psi^+\rangle = \frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt2}\) ，並寫程式驗證。
（程式）實作「標的位元在第 0 位」的 CNOT（即控制與標的互換），作用在 Bell 態上，觀察結果是否不變，並解釋原因。