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4.1 測量的數學與機率#

概念說明#

Born 規則：量子態 \(|\psi\rangle\) 對基底 \(\{|i\rangle\}\) 測量，得到結果 \(i\) 的機率為

\[ P(i) = |\langle i|\psi\rangle|^2 = |\psi_i|^2 \]

測量後狀態塌縮為 \(|i\rangle\) 。對一般可觀測量（Hermitian 算子 \(M\) ，本徵態 \(\{|i\rangle\}\) 、本徵值 \(\lambda_i\) ），期望值為

\[ \langle M\rangle = \langle\psi|M|\psi\rangle = \sum_i |\psi_i|^2 \lambda_i \]

部分測量：對 \(n\) 位元系統只量第 \(k\) 位。設振幅 \(a_x = a_{x,0}\) （第 \(k\) 位為 0）與 \(a_{x,1}\) （第 \(k\) 位為 1），則

\[ P(0) = \sum_x |a_{x,0}|^2, \qquad P(1) = \sum_x |a_{x,1}|^2 \]

量得 0 後，其餘位元的狀態變成（重新正規化的）條件態： \(\psi'_{x,0} = a_{x,0}/\sqrt{P(0)}\) 。這就是「測量一個位元會影響與它糾纏的其他位元」的數學表現。

干涉的來源：機率不是直接相加—— \(\left|\sum_i \psi_i\right|^2\) 有交叉項，正是振幅之間的干涉。量子演算法設計的核心就是控制這些交叉項的正負。

演算法步驟（模擬部分測量）#

  1. 由振幅計算目標位元的 \(P(0)\) 、 \(P(1)\) 。
  2. 依機率抽樣決定測量結果。
  3. 依結果把狀態向量投影並重新正規化。

Python 範例#

import numpy as np

def partial_measure(state, n, k, result=None, rng=None):
    """測量第 k 位（0=最低位），回傳 (結果, 新狀態)"""
    rng = rng or np.random.default_rng()
    idx0 = np.array([i for i in range(2**n) if (i >> k) & 1 == 0])
    idx1 = np.array([i for i in range(2**n) if (i >> k) & 1 == 1])
    p0 = np.sum(np.abs(state[idx0])**2)
    if result is None:
        result = int(rng.random() > p0)
    target = idx0 if result == 0 else idx1
    new = np.zeros_like(state)
    new[target] = state[target] / np.sqrt(p0 if result == 0 else 1 - p0)
    return result, new

# 範例 1：|+> 的測量
plus = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
r, collapsed = partial_measure(plus, 1, 0, result=0, rng=np.random.default_rng(0))
print("量得", r, "塌縮為", collapsed)   # |0>

# 範例 2：Bell 態的部分測量
bell = np.zeros(4, dtype=complex); bell[0] = bell[3] = 1/np.sqrt(2)
r, new = partial_measure(bell, 2, 1, result=1, rng=np.random.default_rng(0))
print("量第一個位元得 1 後，狀態 =", new)   # 恰是 |11>：另一位元被決定為 1

# 範例 3：期望值 <Z>
Z = np.diag([1, -1]).astype(complex)
psi = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
print("<Z> =", psi.conj() @ Z @ psi)     # 0：|+> 沒有確定的 z 值

複雜度分析#

部分測量需掃描全部振幅計算 \(P(0)\) ： \(O(2^n)\) ；投影與正規化亦 \(O(2^n)\) 。對整個系統測量則只是按 \(|\psi_i|^2\) 抽樣， \(O(2^n)\) 建表、每次抽樣 \(O(\log 2^n)\) 。 \(S\) 次重複實驗（shot）總成本 \(O((m+S)\,2^n)\) 。

練習#

  1. 對 GHZ 態 \(\frac{|000\rangle+|111\rangle}{\sqrt2}\) 測量第一個位元得 0，寫出其餘兩位元的塌縮狀態。
  2. 計算 \(|\psi\rangle = \frac{\sqrt3}{2}|0\rangle + \frac{1}{2}|1\rangle\) 的 \(\langle Z\rangle\) 與 \(\langle X\rangle\) （ \(X\) 的本徵向量為 \(|\pm\rangle\) ）。
  3. （程式）用 partial_measure 對 Bell 態分別量第一位元與第二位元，驗證兩者結果永遠相同；再對 \(\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}\) 與均勻混合分佈 \([0.5,0,0,0.5]\) 比較，說明為什麼「經典相關」與「糾纏」不同。