4.2 不可克隆定理#

概念說明#

不可克隆定理（No-Cloning Theorem）：不存在一個物理（么正）程序，能對任意未知量子態 \(\psi\) 製造出它的完美複本。

證明（反證法）：假設存在么正 \(U\) 與空白態 \(|e\rangle\) 使得對所有 \(\psi\) ：

取兩個不同的態 \(|\psi\rangle, |\phi\rangle\) ，利用么正性保持內積：

• 左邊： \(\langle\psi\phi|\psi\phi\rangle \cdot (\text{由 }U\text{ 保持內積}) = \langle\psi|\phi\rangle\)
• 右邊： \((\langle\psi|\otimes\langle\psi|)(|\phi\rangle\otimes|\phi\rangle) = \langle\psi|\phi\rangle^2\)

於是必須 \(\langle\psi|\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^2\) ，即 \(\langle\psi|\phi\rangle \in \{0, 1\}\) 。但一般兩態的內積可為任意複數（如 \(|+\rangle,|0\rangle\) 內積為 \(1/\sqrt2\) ），矛盾。 \(\blacksquare\)

注意三點：

1. 複製已知的基底態是可能的（CNOT 就是 X-basis 之外對 \(\{|0\rangle,|1\rangle\}\) 的複製器）；定理限制的是「未知的任意疊加」。
2. 定理的推論：無法從一份未知態的拷貝測量出它的完整狀態（量子態斷層，no-programming from single copy）。
3. 這正是 BB84 量子金鑰分發安全的根基：竊聽者無法複製傳輸中的量子位元再慢慢量測，任何竊聽必然引入可偵測的錯誤。

對工程面的影響：量子程式無法像古典程式那樣備份中間狀態來除錯；除錯只能靠重跑（重新準備同一態）與統計推斷，這催生了量子斷言（quantum assertion）與影子層析（shadow tomography）等技術。

Python 範例：驗證「複製」為何失敗#

import numpy as np

ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)
H = np.array([[1, 1], [1, -1]], dtype=complex) / np.sqrt(2)
CNOT = np.array([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,1],[0,0,1,0]], dtype=complex)

def kron(a, b): return np.kron(a, b)

# CNOT 只能複製 |0>/<1>（計算基底）
print("CNOT 對 |0>|0>:", CNOT @ kron(ket0, ket0))   # |00> -> 00，成功
print("CNOT 對 |1>|0>:", CNOT @ kron(ket1, ket0))   # |10> -> 11，成功

# 但對疊加態 |+>|0>：
plus = H @ ket0
out = CNOT @ kron(plus, ket0)
print("CNOT 對 |+>|0> =", np.round(out, 3))
# 得到的是 Bell 態 (|00>+|11>)/sqrt2，不是 |+>|+>！
print("若真複製應為 |+>|+> =", np.round(kron(plus, plus), 3))
print("兩者相同嗎?", np.allclose(out, kron(plus, plus)))   # False
print("內積 <複製結果|真複製> =", np.vdot(out, kron(plus, plus)).real)  # 0.707 ≠ 1

複雜度分析#

證明本身無複雜度，但可量化「最佳近似複製」的品質：對 \(d\) 維希爾伯特空間的未知純態，最佳通用克隆機的保真度至多 \(F_{\max} = \frac{d+1}{2d}\) （單份輸入、兩份輸出）； \(d=2\) 時 \(F=3/4\) 。這個界由 Bužek–Hillery 機器達到，可視為「克隆任務」的資訊論下界。

練習#

1. 用內積論證說明：若一個程序能同時複製 \(|0\rangle, |1\rangle, |+\rangle\) 三個態，必產生矛盾。
2. （程式）嘗試構造一個 \(4\times4\) 矩陣 \(M\) 使 \(M|0\rangle|0\rangle=|0\rangle|0\rangle\) 、 \(M|1\rangle|0\rangle=|1\rangle|1\rangle\) 、 \(M|+\rangle|0\rangle=|+\rangle|+\rangle\) ，並用線性代數說明為何無解（提示：線性性）。
3. 說明 BB84 中，為什麼竊聽者「先複製再測」的策略會被發現。