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9.1 去相干與雜訊#

概念說明#

為什麼量子態會壞掉？ 量子位元不是孤立的：它與環境（熱振動、雜散電磁場、控制線路的電子雜訊）耦合。環境「偷看」了量子位元，疊加中的相位資訊就洩漏出去——這是去相干（decoherence）。兩個典型時間尺度：

  • \(T_1\) （能量弛豫）： \(|1\rangle\) 衰變回 \(|0\rangle\) ；
  • \(T_2\) （相位相干時間）：疊加態的相對相位隨機化。實務上 \(T_2 \le 2T_1\) ；超導量子位元 \(T_1 \sim 100\,\mu s\) ，離子阱可達分鐘級。

數學描述：密度矩陣與克勞斯算子。純態推廣為密度矩陣 \(\rho = |\psi\rangle\langle\psi|\) ，雜訊通道 \(\mathcal E\) 寫成

\[ \mathcal E(\rho) = \sum_k E_k \rho E_k^\dagger, \qquad \sum_k E_k^\dagger E_k = I \]

常見通道：

通道 克勞斯算子 物理意義
位元翻轉（機率 \(p\) ） \(\sqrt{1-p}\,I,\ \sqrt p\,X\) 偶然翻位元
相位翻轉 \(\sqrt{1-p}\,I,\ \sqrt p\,Z\) 相位隨機
退極化 \(\sqrt{1-p}\,I,\ \sqrt{p/3}(X,Y,Z)\) 完全隨機化
振幅阻尼 \(E_0=\mathrm{diag}(1,\sqrt{1-\gamma}),\ E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt\gamma\\0&0\end{pmatrix}\) \(T_1\) 衰變

特徵指標：保真度 \(F(\rho, \sigma) = (\mathrm{tr}\sqrt{\sqrt\rho\sigma\sqrt\rho})^2\) 衡量「兩態有多像」；純態時 \(F = \langle\psi|\sigma|\psi\rangle\) 。

Python 範例#

import numpy as np

I2 = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0,1],[1,0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1,0],[0,-1]], dtype=complex)
Y = np.array([[0,-1j],[1j,0]], dtype=complex)

def channel(rho, ops, probs):
    """克勞斯通道"""
    out = np.zeros_like(rho)
    for E, p in zip(ops, probs):
        E = np.sqrt(p)*E
        out += E @ rho @ E.conj().T
    return out

def fidelity(psi, rho):
    return (psi.conj() @ rho @ psi).real

plus = np.array([1,1], dtype=complex)/np.sqrt(2)
rho_plus = np.outer(plus, plus.conj())

# 相位翻轉雜訊對 |+> 的破壞
for p in [0.05, 0.2, 0.5, 1.0]:
    rho_n = channel(rho_plus, [I2, Z], [1-p, p])
    print(f"相位翻轉 p={p:<4}: F(|+>, rho) = {fidelity(plus, rho_n):.3f}")
# p=0.5 時 |+> 完全失去相干性，F = 0.5

# 振幅阻尼：T1 衰變隨時間演化
def amplitude_damping(rho, gamma):
    E0 = np.diag([1, np.sqrt(1-gamma)]).astype(complex)
    E1 = np.array([[0, np.sqrt(gamma)],[0,0]], dtype=complex)
    return E0 @ rho @ E0.conj().T + E1 @ rho @ E1.conj().T

rho1 = np.array([[0,0],[0,1]], dtype=complex)   # |1><1|
for t in [0, 0.25, 1, 4]:
    rho_t = amplitude_damping(rho1, gamma=1-np.exp(-t))
    print(f"t={t} T1: P(仍為|1>) = {rho_t[1,1].real:.3f}")   # 指數衰變 e^{-t/T1}

複雜度分析#

密度矩陣模擬是 \(d\times d\) 矩陣（ \(d = 2^n\) ）：單通道作用成本 \(O(d^2)\) 、記憶體 \(O(d^2)\) ——比純態模擬貴一個 \(2^n\) 因子， \(n>12\) 就吃緊。這是雜訊模擬必須付出的代價；大規模雜訊模擬需用張量網路或蒙地卡羅軌跡法（quantum trajectories）。

練習#

  1. 驗證退極化通道的克勞斯算子滿足完備性 \(\sum_k E_k^\dagger E_k = I\) 。
  2. （程式）對 \(|0\rangle\) 依序施加位元翻轉（ \(p=0.1\) ）10 次與 100 次，畫出保真度曲線，說明為什麼「疊加時間越長越糟」。
  3. （觀念）解釋為什麼相位翻轉對 \(|0\rangle\) 毫無影響、對 \(|+\rangle\) 卻是致命的；這對「什麼狀態需要保護」有什麼啟示？