9.2 量子糾錯碼入門#

概念說明#

古典糾錯靠冗餘：把 0 複製成 000，多數表決。量子版本面對三重障礙：不可克隆（無法複製未知態）、連續誤差（錯誤可以是任意角度的旋轉，不只翻轉）、測量破壞態（量一下就塌縮）。量子糾錯碼用兩個巧思同時克服：

不複製，而是「展開」：把一個邏輯量子位元的資訊分散編碼進多個物理位元的糾纏中，例如

\[ |\psi_L\rangle = \alpha|000\rangle + \beta|111\rangle \]

這不是 \(\alpha\psi\otimes\alpha\psi\otimes\alpha\psi\) （那才是克隆），而是把 \(\alpha,\beta\) 藏在糾纏結構裡——單看任何一個位元都得不到 \(|\psi\rangle\) 的資訊。

量 syndrome 而不是量資料：測量「哪裡錯了」（parity 資訊）而非「資料是什麼」。例如測 \(Z_1Z_2\) （前兩位元的奇偶），結果只告訴你「1、2 位元是否相異」，不會塌縮掉 \(\alpha, \beta\) 。

線性碼的經典三例：

3 位元位元翻轉碼：糾正任意單一 \(X\) 錯誤。 \(Z_1Z_2, Z_2Z_3\) 的 syndrome：(00) 無錯、(10) 第 1 位、(11) 第 2 位、(01) 第 3 位。
3 位元相位翻轉碼：對偶版本，糾正 \(Z\) 錯誤，編碼 \(|\pm\rangle\) 的重複。
Shor 9 位元碼：位元翻轉碼與相位翻轉碼的級聯，糾正任意單位元錯誤。關鍵事實：由於任意誤差 \(E = e_0 I + e_1 X + e_2 Y + e_3 Z\) 是線性組合，糾正了 \(X, Y, Z\) 三種基本錯誤就糾正了一切——連續誤差被量子測量的塌縮「數位化」成離散 syndrome。

穩定子形式：碼空間由一群對易算子（穩定子） \(g_i\) 的共同 +1 本徵空間定義。測 \(g_i\) 的本徵值得到 syndrome，效率遠高於一般投影測量。

Python 範例：3 位元位元翻轉碼#

import numpy as np

ket = {0: np.array([1,0], dtype=complex), 1: np.array([0,1], dtype=complex)}
X = np.array([[0,1],[1,0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1,0],[0,-1]], dtype=complex)
I2 = np.eye(2, dtype=complex)

def kron3(a, b, c): return np.kron(np.kron(a, b), c)

def encode(psi):
    """|ψ> = α|0>+β|1> -> α|000>+β|111>（用 CNOT×2 從第 0 位複製到 1,2 位）"""
    a, b = psi
    return a*kron3(ket[0], ket[0], ket[0]) + b*kron3(ket[1], ket[1], ket[1])

def syndrome(logical_rho_or_state, error):
    """模擬 syndrome 測量：先套錯誤，再量 Z1Z2、Z2Z3"""
    state = error @ logical_rho_or_state
    z12 = state @ kron3(Z, Z, I2)   # 簡化：對純態直接取內積
    z23 = state @ kron3(I2, Z, Z)
    s1 = (z12 @ state).real > 0.5   # +1(同意)=0, -1(相異)=1
    s2 = (z23 @ state).real > 0.5
    return (int(s1), int(s2)), state

def correct(state, s1, s2):
    if (s1, s2) == (1, 0): return kron3(X, I2, I2) @ state
    if (s1, s2) == (1, 1): return kron3(I2, X, I2) @ state
    if (s1, s2) == (0, 1): return kron3(I2, I2, X) @ state
    return state

psi = np.array([0.6, 0.8], dtype=complex)
enc = encode(psi)
print("編碼後:", np.round(enc, 3))

for loc in [0, 1, 2]:
    E = kron3(*(X if i == loc else I2 for i in range(3)))
    damaged = E @ enc
    (s1, s2), _ = syndrome(damaged, E)
    fixed = correct(damaged, s1, s2)
    print(f"錯誤在第 {loc} 位 -> syndrome ({s1},{s2}) -> 糾正後 = 原態? "
          f"{np.allclose(fixed, enc)}")

# 單位元錯誤無論多「連續」（如小幅旋轉），syndrome 測量後塌縮為 X 型錯誤
theta = 0.3
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],[np.sin(theta), np.cos(theta)]], dtype=complex)
E_soft = kron3(R, I2, I2)
damaged = E_soft @ enc
# 直接量 syndrome：塌縮成「無錯」或「X 錯」兩種離散結果之一
print("\n連續旋轉誤差也會被數位化為離散 syndrome —— 這是量子糾錯的奇蹟")

複雜度分析#

3 位元碼：編碼 2 個 CNOT、syndrome 2 次測量、糾正至多 1 個 X。能糾正 \(t=1\) 個錯誤（碼距 3，滿足 \(d = 2t+1\) ）。
一般 \([[n, k, d]]\) 碼： \(n\) 個物理位元編碼 \(k\) 個邏輯位元、糾正 \(t = \lfloor(d-1)/2\rfloor\) 個錯誤。Shor 碼 \([[9,1,3]]\) ；Steane 碼 \([[7,1,3]]\) ；表面碼（surface code）用 \(d^2\) 個物理位元、糾正 \(\lfloor d/2\rfloor\) 個。
若單位元錯誤率 \(p\) ，未編碼成功率 \((1-p)\) ；3 位元碼後失敗率 \(\approx 3p^2\) （需兩個以上錯誤才會壞）—— \(p\) 小時是平方改善。

練習#

證明 3 位元碼的編碼態 \(\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle\) 中，任一單位元的約化密度矩陣都不含 \(\alpha\beta^*\) 項——資訊確實不在單一位元裡。
（程式）為 3 位元碼加上「兩個位元同時錯」的情境，觀察糾正失敗，並驗證失敗率 \(\approx 3p^2\) 的標度律。
（觀念）為什麼量 \(Z_1Z_2\) 不會破壞 \(\alpha, \beta\) ？用「 \(|000\rangle\) 與 \(|111\rangle\) 都是 \(Z_1Z_2=+1\) 的本徵態」說明。