9.3 NISQ 時代的容錯挑戰#

概念說明#

NISQ（Noisy Intermediate-Scale Quantum，Preskill 2018 年提出）描述當前硬體：50~1000 個物理量子位元、閘錯誤率 \(10^{-3}\sim10^{-2}\) 、無糾錯。NISQ 機器能跑淺電路（數十到數百層閘），但跑不了 Shor——那需要數百萬個閘，錯誤早已累積成災。

Threshold 定理（Aharonov–Ben-Or、Knill–Laflamme–Zurek 等）：若物理閘錯誤率低於某個門檻 \(p_{th}\) （表面碼約 \(10^{-2}\) ，受 GateSet 影響），則可以用容錯（fault-tolerant）設計把邏輯錯誤率壓到任意低，開銷只隨 \(\log(1/\varepsilon)\) 緩慢成長。這是量子計算「理論上可行」的根基：錯誤不會失控，只要夠乾淨就能用糾錯買回可靠性。

容錯的代價（以表面碼為例）：

碼距 \(d\) 的表面碼： \(d^2\) 個資料位元 + 約 \(d^2\) 個測量位元，邏輯錯誤率 \(\sim (p/p_{th})^{(d+1)/2}\) ；
想跑 Shor（ \(\sim 10^{10}\) 個 Toffoli，錯誤率需 \(\sim 10^{-12}\) ）：每個邏輯位元約需 1000~10000 個物理位元；
Gidney–Ekerå（2019）估計：分解 2048 位元 RSA 約需 2000 萬個噪聲物理量子位元、8 小時。目前最大晶片（~1000 位元）與之相差四個數量級。

邁向容錯的路標：

2024 Google Willow：首次示範「碼距從 3→5→7 時邏輯錯誤率下降」（低於 threshold 的運作），並展示即時解碼；
邏輯量子位元演示：Harvard/QuEra 中性原子 48 個邏輯位元（2023）、IBM 的 qLDPC 碼路線圖；
T 閘的 magic state distillation：容錯中最昂貴的資源，是最佳化焦點。

NISQ 時代的務實演算法：變分演算法（VQE、QAOA）、取樣任務（random circuit sampling）——它們容忍雜訊，但能否真正超越古典仍有爭議。教科書演算法（Grover、Shor）需要容錯硬體才能展現實用威力。

Python 範例：模擬邏輯錯誤率 vs 碼距#

import numpy as np

def repetition_code_logical_error(p_phys, d, trials=200000, seed=0):
    """d 位元重複碼 + 多數表決的邏輯錯誤率（古典模擬，性質同表面碼標度）"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    errs = rng.random((trials, d)) < p_phys
    # 多數表決失敗 = 超過半數位元翻轉
    return np.mean(errs.sum(axis=1) > d//2)

print(" p_phys    d=3      d=5      d=7      d=9")
for p in [0.03, 0.06, 0.09, 0.11, 0.15]:
    row = [repetition_code_logical_error(p, d) for d in (3, 5, 7, 9)]
    print(f"  {p:.2f}   " + "  ".join(f"{v:.4f}" for v in row))
# 觀察：p < ~0.1（threshold 附近）時，d 越大邏輯錯誤率越低（指數改善）；
# p 太大時相反 —— 這就是 threshold 定理的具體呈現

# 邏輯錯誤率隨碼距的指數下降
p = 0.03
for d in [3, 5, 7, 9, 11]:
    pe = repetition_code_logical_error(p, d)
    print(f"p={p}, d={d}: P_L ≈ {pe:.2e}  (理論 ~ A*(p/p_th)^((d+1)/2))")

複雜度分析#

表面碼開銷： \(n_{phys} \approx 2d^2\) 位元、每個糾錯週期 \(d\) 輪測量；邏輯錯誤率 \(P_L \propto (p/p_{th})^{(d+1)/2}\) 。
容錯計算總資源： \(n_{phys} \approx n_{logic} \cdot O(d^2)\) 、時間開銷 \(O(d)\) ；要跑 \(T\) 個閘需 \(P_L \lesssim 1/T\) ，故 \(d = O(\log T)\) 。
模擬糾錯（蒙地卡羅）：每次實驗 \(O(d^2)\) 樣本 × 解碼（最小完美匹配 \(O(d^2\log d)\) ）——解碼器速度是即時容錯的關鍵瓶頸。

練習#

用上表資料估算 repetition code 在 \(p=0.03\) 時的 threshold 落在何處，並說明「p 低於 threshold 時加大碼距有指數回報」。
（程式）把模擬改成「每次糾錯週期獨立擲錯、共 \(d\) 輪」的時間維度模型，觀察邏輯錯誤率如何變化。
（觀念）NISQ 演算法（如 VQE）為什麼不需要糾錯？它們的風險是什麼（提示：雜訊會讓變分最佳化收斂到錯誤的極小值）？